• 
  • 07 November 2020
  Математика
  • Автор: joker25171

  

  Помогите вычислить предел! По идее правильный ответ -10, но я без понятия как его получить, если кто-то сможет объяснить - буду бесконечно благодарен.
  
  [tex]\lim_{x \to 1} \frac{sin(5\pi x)*arcsin(x-1) }{arccos(x-1)*(x^2-2x+1)}[/tex]

• 
  • 07 November 2020
  • Ответ оставил: KolyaRomanov0

  Ответ:

  -10

  Пошаговое объяснение:

  Нам тут понадобится правило Лопиталя.

  если [tex]\displaystyle \lim_{n \to a} \dfrac fg=\dfrac00[/tex] или [tex]\displaystyle \lim_{n \to a} \dfrac fg=\dfrac\infty\infty[/tex] то [tex]\displaystyle \lim_{n \to a} \dfrac fg=\displaystyle \lim_{n \to a} \dfrac {f'}{g'}[/tex]

  1

  [tex]\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(x-1)}{\arccos(x-1)\cdot(x^2-2x+1)}[/tex]

  2 Вынесем -1 по формуле [tex]\arcsin(x-1)=-\arcsin(1-x)[/tex]

  [tex]\displaystyle -\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{\arccos(x-1)\cdot(x^2-2x+1)}[/tex]

  3 Запишем предел произведения дробей как произведение пределов

  [tex]\displaystyle- \lim_{x \to 1} \frac{1}{\arccos(x-1)}\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{x^2-2x+1}[/tex]

  4 Подставим в первом пределе значение и посчитаем

  [tex]\displaystyle- \lim_{x \to 1} \frac{1}{\arccos(1-1)}\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{x^2-2x+1}[/tex]

  [tex]\displaystyle-\lim_{x \to 1}\frac{1}{\arccos0}\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{x^2-2x+1}[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{x^2-2x+1}[/tex]

  5 Cоберем квадрат в знаменателе [tex]x^2-2x+1=(x-1)^2[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{(x-1)^2}[/tex]

  6 Получили предел вида [tex]\dfrac00[/tex] воспользуемся правилом Лопиталя

  [tex]\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{(\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x))'}{(x-1)'}[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)'\cdot\arcsin(x-1)+\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)'}{2x-2}[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{(-x(x-2))^{-\frac12}\bigg(5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x) \bigg)}{2x-2}[/tex]

  Тут я сразу вынес за скобки

  7 Вынесем [tex]\dfrac12[/tex] (взял 2 в знаменателе) за предел и сократим

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{(-x(x-2))^{-\frac12}\bigg(5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x) \bigg)}{x-1}[/tex]

  8 Распишем как произведение пределов

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot\lim_{x \to 1}(-x(x-2))^{-\frac12}\cdot \lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x)}{x-1}[/tex]

  9 Посчитаем первый предел

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot\lim_{x \to 1}(-1(1-2))^{-\frac12}\cdot \lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x)}{x-1}[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot1\cdot \lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x)}{x-1}[/tex]

  10 Распишем разность дробей в пределе

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)}{x-1}-\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}[/tex]

  11 Распишем предел разности как разность пределов

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(\lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)}{x-1}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)[/tex]

  12 Распишем первый предел как произведение пределов и вынесем 5π

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi\lim_{x \to 1}\sqrt{-x(x-2)}\cos(5\pi x)\lim_{x \to 1}\frac{\arcsin(1-x)}{x-1}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)[/tex]

  13 Посчитаем первый предел

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi\lim_{x \to 1}\sqrt{-1(1-2)}\cos(5\pi )\lim_{x \to 1}\frac{\arcsin(1-x)}{x-1}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(-5\pi\lim_{x \to 1}\frac{\arcsin(1-x)}{x-1}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)[/tex]

  14 В первом пределе снова неопределённость [tex]\dfrac00[/tex], снова Лопиталем

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(-5\pi\lim_{x \to 1}\frac{(\arcsin(1-x))'}{(x-1)'}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(-5\pi\lim_{x \to 1}-\frac1{\sqrt{-x(x-2)}}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)[/tex]

  15 Теперь мы можем посчитать первый предел

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(-5\pi\lim_{x \to 1}-\frac1{\sqrt{-1(1-2)}}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)[/tex]

  16 Снова используем правило Лопиталя, так как у нас неопределённость [tex]\dfrac00[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-\lim_{x \to 1}\frac{(\sin(5\pi x))'}{(x-1)'}\Bigg)[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-\lim_{x \to 1}5\pi\cos(5\pi x)\Bigg)[/tex]

  17 Выносим константу

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-5\pi\lim_{x \to 1}\cos(5\pi x)\Bigg)[/tex]

  18 Посчитаем предел

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-5\pi\lim_{x \to 1}\cos(5\pi )\Bigg)\\[/tex]

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi+5\pi\Bigg)[/tex]

  19 Досчитываем!

  [tex]\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot 10\pi[/tex]

  [tex]-10[/tex]

  МЫ ПОЛУЧИЛИ ОТВЕТ

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: математика.
  На сегодняшний день (02.10.2024) наш сайт содержит 1049511 вопросов, по теме: математика. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы