• 
  • 13 November 2020
  Алгебра
  • Автор: arikmin777

  

  При каких целых значениях u значение выражения (u-2)²:u² будет ровно целому числу

• 
  • 13 November 2020
  • Ответ оставил: ArtemCoolAc

  Итак, есть выражение

  [tex]\displaystyle \frac{(u-2)^2}{u^2}=\frac{u^2-4u+4}{u^2}=\frac{u^2}{u^2}-\frac{-4u+4}{u^2}=1-\frac{-4(u-1)}{u^2}=1+\frac{4(u-1)}{u^2}[/tex]

  Единица - число целое, его и не рассматриваем, главное, чтобы дробь принимала целые значения. Как этого добиться?

  Можно по-разному сгруппировать множители, есть два варианта, рассмотрим каждый из них и в конце объединим полученные значения

  1) рассмотрим случай, когда

  [tex]\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2}=\frac{4}{u}\cdot \frac{u-1}{u}[/tex]

  В этом случае 4 делится на [tex]u[/tex], такие значения легко подбираются, самое главное найти те

  пусть [tex]u-1[/tex] делится на [tex]u[/tex], тогда частное от деления некоторое число [tex]k[/tex]

  [tex]\displaystyle \frac{u-1}{u}=k, \ k\in \mathbb{Z}[/tex]

  Немного преобразуем, умножив на [tex]u[/tex] (оно не равно 0 ещё по условию)

  [tex]u-1=ku \Rightarrow u(1-k)=1[/tex]

  Нужно решить полученное уравнение в целых числах. В данном случае все просто: произведение целых чисел равно единице либо когда каждое из чисел равно 1, либо -1.

  То есть 1 вариант, когда [tex]u=1; 1-k=1 \Rightarrow u=1; k=0[/tex]

  либо 2 вариант, когда [tex]u=-1; 1-k=-1 \Rightarrow u=-1; k=2[/tex]

  Самое главное, что 4 делится на оба полученных значения [tex]u=\pm1[/tex], то есть они точно пойдут в ответ.

  Теперь рассматриваем случай 2):

  считаем, что [tex]u-1[/tex] не делится на [tex]u[/tex] нацело (когда делится, мы уже такие случаи нашли), и тогда остается только вариант такой:

  [tex]\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2} = \frac{4}{u^2}\cdot(u-1)[/tex]

  Понятно, что при целых [tex]u[/tex] правый сомножитель всегда будет целым, значит, нужно добиться, чтобы левый тоже был целым.

  Если совсем просто, то заменим [tex]t=u^2[/tex], и имеем тогда выражение

  [tex]\displaystyle \frac{4}{t}[/tex], которое должно быть целым, отсюда следует, что [tex]t[/tex] является делителем числа 4, а их немного на самом деле. [tex]t=\pm 1; t=\pm2; t=\pm4[/tex]

  Правда, вспоминаем, что

  [tex]t=u^2 \Rightarrow u^2=\pm1; u^2=\pm2; u^2=\pm4; u^2 \geq 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow u^2=1; u^2=2; u^2=4 \Rightarrow u=\pm1; u=\pm \sqrt{2}; u=\pm2[/tex]

  Нам нужны целые числа, поэтому значения с корнями откидываются, а ещё вспоминаем, что общий ответ получается путем объединения случаев 1 и 2, но нам повезло, оба значения из случая 1 вошли в значения случая 2.

  Вообще есть ещё случай группировки 3:

  [tex]\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2}=4\cdot \frac{u-1}{u^2}[/tex]

  Но тут сразу видно, что при целых [tex]u[/tex] делимость нацело правого множителя невозможна при [tex]|u|>1[/tex] (парабола растет быстрее прямой), а  

  [tex]u=\pm 1[/tex] (которые, к слову, сюда тоже подходят) мы уже рассмотрели.  

  Ответ: [tex]\boxed{\pm 1; \pm 2}[/tex]

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
  На сегодняшний день (28.02.2026) наш сайт содержит 449110 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы