• 
  • 22 December 2020
  Математика
  • Автор: angel150301

  

  Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти общее решение.
  2y'' -y' -y = 4e^(-x/2)

• 
  • 22 December 2020
  • Ответ оставил: madmath

  Для начала нужно решить соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение, выполнив замену [tex]y=e^{kx}[/tex].

  [tex]k_1=-\frac{1}{2}\\ k_2=1[/tex]

  Общее решение однородного диф. уравнения: [tex]\overline{y}=C_1e^{-\frac{x}{2}}+C_2e^x[/tex].

  Рассмотрим функцию [tex]f(x)=4e^{-\frac{x}{2}}[/tex]. Здесь [tex]P_n(x)=4[/tex], где [tex]n=0[/tex], [tex]\alpha =-\frac{1}{2}.[/tex] Сравнивая [tex]\alpha[/tex] с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что

  [tex]y^*=Axe^{-\frac{x}{2}}[/tex]

  Определим первые две производные функции частного решения и подставляем в исходное дифференциальное уравнение одновременно разделив обе части на [tex]e^{-\frac{x}{2}}[/tex].

  [tex]y'=(Axe^{-\frac{x}{2}})'=Ae^{-\frac{x}{2}}-\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}}[/tex]

  [tex]y''=(Ae^{-\frac{x}{2}}-\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}})=-\frac{A}{2}e^{-\frac{x}{2}}-\frac{A}{2}e^{-\frac{x}{2}}+\frac{Ax}{4}e^{-\frac{x}{2}}=-Ae^{-\frac{x}{2}}+\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}}[/tex]

  [tex]2(-A+\frac{Ax}{2})-(A-\frac{Ax}{2})=4\\ \\ -2A+Ax-A+\frac{Ax}{2}=4\\ \\ -6A+3Ax=8[/tex]

  Приравниваем коэффициенты при степенях x

  [tex]-6A=8~~\Rightarrow~~ A=-\frac{4}{3}[/tex]

  Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищем как сумму общего однородного диф. уравнения и частного решения

  [tex]y=\overline{y}+y^*=C_1e^{-\frac{x}{2}}+C_2e^x-\frac{4}{3}xe^{-\frac{x}{2}}[/tex]

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: математика.
  На сегодняшний день (16.11.2024) наш сайт содержит 1049513 вопросов, по теме: математика. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы