• 
  • 04 December 2020
  Алгебра
  • Автор: Bedisbashkoi28

  

  некоторое натуральное число в четвертой степени имеет 85 натуральных делителя (включая единицу и само число). сколько натуральных делителей имеет это число в седьмой степени?

• 
  • 04 December 2020
  • Ответ оставил: Artem112

  Пусть число записано в виде произведения степеней простых множителей:

  [tex]m=a^xb^y...c^z[/tex], где [tex]a,\ b,\ ...,\ c\in\mathbb{P};\ x,\ y,\ ...,\ z\in\mathbb{N}[/tex]

  Тогда, число делителей этого числа определяется по формуле:

  [tex]n_d(m)=(x+1)(y+1)...(z+1)[/tex]

  Рассмотрим некоторое число [tex]k[/tex]. Пусть [tex]k^4[/tex] имеет 85 делителей. Разложим число 85 на множители:

  [tex]85=5\cdot17[/tex]

  Заметим, что число 85 раскладывается на какие бы то ни было множители единственным образом.

  Зная это, необходимо рассмотреть две ситуации.

  1) Число делителей находилось как произведение из одного множителя (условное произведение):

  [tex]n_d(k^4)=x+1=85[/tex]

  [tex]\Rightarrow x=84[/tex]

  Тогда, число [tex]k^4[/tex] имеет вид:

  [tex]k^4=a^{84}[/tex]

  Найдем число [tex]k[/tex]:

  [tex]k=\sqrt[4]{a^{84}}[/tex]

  [tex]k=a^{21}[/tex]

  Найдем число [tex]k^7[/tex]:

  [tex]k^7=(a^{21})^7[/tex]

  [tex]k^7=a^{147}[/tex]

  Число делителей этого числа:

  [tex]n_d(k^7)=147+1=148[/tex]

  2) Число делителей находилось как произведение из двух множителей:

  [tex]n_d(k^4)=(x+1)(y+1)=5\cdot17[/tex]

  [tex]\Rightarrow x=4;\ y=16[/tex]

  Тогда, число [tex]k^4[/tex] имеет вид:

  [tex]k^4=a^4b^{16}[/tex]

  Найдем число [tex]k[/tex]:

  [tex]k=\sqrt[4]{a^4b^{16}}[/tex]

  [tex]k=ab^4[/tex]

  Найдем число [tex]k^7[/tex]:

  [tex]k^7=(ab^4)^7[/tex]

  [tex]k^7=a^7b^{28}[/tex]

  Число делителей этого числа:

  [tex]n_d(k^7)=(7+1)\cdot(28+1)=8\cdot29=232[/tex]

  Ответ: 148 или 232

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
  На сегодняшний день (20.05.2024) наш сайт содержит 449107 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы