Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC . Также известно, что в ABCDможно вписать окружность.а) Докажите, что о...

- 24 November 2020
- Автор: king1kobra
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром

окружности является его диагональ AC . Также известно, что в ABCD

можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD , если

AC = 26 и BD =10.
Срочно.
- 24 November 2020
- Ответ оставил: MrSolution
Ответ:
а) Доказано; б) [tex]\dfrac{5\sqrt{26}}{6}[/tex].
Объяснение:
а)
Пусть AB=b, BC=a, DC=n, AD=m.
Понятно, что ΔADC и ΔABC прямоугольные (AC - диаметр окружности по условию)
Из теоремы Пифагора и условия вписанности окружности в четырехугольник следует:
[tex]\begin{equation*} \begin{cases} a^2+b^2=n^2+m^2 \\ a+m=b+n \end{cases}\end{equation*}[/tex]
Рассмотрим вторую строку системы:
[tex]a+m=b+n\\(a+m)^2=(b+n)^2\\a^2+2am+m^2=b^2+2bn+n^2\\a^2-b^2+2am=n^2-m^2+2bn[/tex]
Выполним сложение первой строки исходной системы и полученной:
[tex]2a^2+2am=2n^2+2bn\\a^2+am=n^2+bn\\a(a+m)=n(b+n)[/tex]
Теперь заметим, что из 2-ой строки исходной системы [tex]a+m=b+n[/tex].
Тогда:
[tex]a(a+m)=n(a+m)\\a=n[/tex]
Соответственно и [tex]b=m[/tex].
Значит ΔDBC и ΔDAB равнобедренные.
Пусть в ΔDAB ∠DAO=α и ∠BAO=β. Тогда ∠ADB=90°-β, а ∠ABD=90°-α.
Но ∠ADB=∠ABD => α=β. Значит AO - биссектриса ∠DAB, а => и высота (ΔDAB равнобедренный) => AC⊥BD.
Доказано!
б)
Понятно, что искать радиус будем, записав формулу площади исходного четырехугольника двумя способами, т.е:
[tex]S=\dfrac{1}{2}\times AC\times BD\\\\S=p\times r\\\\=>r=\dfrac{AC\times BD}{2p}[/tex]
Здесь в 1-ой формуле sin90°=1.
[tex]p=\dfrac{m+n+a+b}{2}=n+m[/tex]
По теореме Пифагора:
[tex]AC^2=n^2+m^2\\AC^2=(n+m)^2-2mn[/tex]
Но высота треугольника DAC:
[tex]DO=\dfrac{mn}{AC},\;=>\;mn=\dfrac{BD\times AC}{2}[/tex]
Тогда:
[tex]AC^2=(n+m)^2-BD\times AC\\=>m+n=6\sqrt{26}[/tex]
Итого:
[tex]r=\dfrac{26\times 10}{2\times6\sqrt{26}}=\dfrac{5\sqrt{26}}{6}[/tex]
Задание выполнено!

0

- НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?
Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: геометрия.
На сегодняшний день (01.11.2024) наш сайт содержит 161594 вопросов, по теме: геометрия. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

Найти другие ответы
Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы