• 
  • 28 January 2021
  Математика
  • Автор: vmusatova2001

  

  Напишите все уравнения касательных,выходящих из точки (4,0) к окружности [tex](x-1)^2+y^{2} =4[/tex]

• 
  • 28 January 2021
  • Ответ оставил: Artem112

  [tex](x-1)^2+y^2=4[/tex]

  Рассмотрим полуокружность, расположенную в верхней полуплоскости. Для нее выразим у:

  [tex]y^2=4-(x-1)^2[/tex]

  [tex]y=\sqrt{4-(x-1)^2}[/tex]

  Необходимо найти касательную к графику функции [tex]f(x)=\sqrt{4-(x-1)^2}[/tex], проходящую через точку [tex](4;\ 0)[/tex].

  Пусть [tex]x_0[/tex] - точка касания. Уравнение касательной:

  [tex]y_k=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/tex]

  [tex]f(x_0)=\sqrt{4-(x_0-1)^2}[/tex]

  Найдем производную:

  [tex]f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{4-(x-1)^2}} \cdot(4-(x-1)^2)'=[/tex]

  [tex]=\dfrac{1}{2\sqrt{4-(x-1)^2}} \cdot(-2(x-1))=-\dfrac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}}[/tex]

  [tex]f'(x_0)=-\dfrac{x_0-1}{\sqrt{4-(x_0-1)^2}}[/tex]

  Подставим все величины в уравнение касательной:

  [tex]y_k=\sqrt{4-(x_0-1)^2}-\dfrac{x_0-1}{\sqrt{4-(x_0-1)^2}}\cdot(x-x_0)[/tex]

  Поскольку касательная проходит через точку [tex](4;\ 0)[/tex], то подставим координаты этой точки в уравнение:

  [tex]0=\sqrt{4-(x_0-1)^2}-\dfrac{x_0-1}{\sqrt{4-(x_0-1)^2}}\cdot(4-x_0)[/tex]

  [tex]\dfrac{(x_0-1)(4-x_0)}{\sqrt{4-(x_0-1)^2}}=\sqrt{4-(x_0-1)^2}[/tex]

  [tex](x_0-1)(4-x_0)=4-(x_0-1)^2[/tex]

  [tex]4x_0-x_0^2-4+x_0=4-x_0^2+2x_0-1[/tex]

  [tex]4x_0-4+x_0=4+2x_0-1[/tex]

  [tex]3x_0=7[/tex]

  [tex]x_0=\dfrac{7}{3}[/tex]

  Значит, уравнение касательной имеет вид:

  [tex]y_k=\sqrt{4-\left(\dfrac{7}{3} -1\right)^2}-\dfrac{\dfrac{7}{3}-1}{\sqrt{4-\left(\dfrac{7}{3}-1\right)^2}}\left(x-\dfrac{7}{3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=\sqrt{4-\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}-\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\sqrt{4-\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}}\left(x-\dfrac{7}{3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=\sqrt{4-\dfrac{16}{9}}-\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\sqrt{4-\dfrac{16}{9}}}\left(x-\dfrac{7}{3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=\sqrt{\dfrac{20}{9}}-\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\sqrt{\dfrac{20}{9}}}\left(x-\dfrac{7}{3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=\dfrac{\sqrt{20} }{3}-\dfrac{4\cdot3}{3\sqrt{20} }\left(x-\dfrac{7}{3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=\dfrac{\sqrt{20} }{3}-\dfrac{4}{\sqrt{20} }\left(x-\dfrac{7}{3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=\dfrac{2\sqrt{5} }{3}-\dfrac{4}{2\sqrt{5} }\left(x-\dfrac{7}{3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=\dfrac{2\sqrt{5} }{3}-\dfrac{2}{\sqrt{5} }\left(x-\dfrac{7}{3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=\dfrac{2\sqrt{5} }{3}-\dfrac{2}{\sqrt{5} }x+\dfrac{2}{\sqrt{5} }\cdot\dfrac{7}{ 3}\right)[/tex]

  [tex]y_k=-\dfrac{2}{\sqrt{5} }x+\dfrac{14}{3\sqrt{5} }+\dfrac{2\sqrt{5} }{3}[/tex]

  [tex]y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }x+\dfrac{14\sqrt{5}+2\sqrt{5}\cdot5 }{3\cdot5 }[/tex]

  [tex]y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }x+\dfrac{14\sqrt{5}+10\sqrt{5}}{3\cdot5 }[/tex]

  [tex]y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }x+\dfrac{24\sqrt{5}}{3\cdot5 }[/tex]

  [tex]y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }x+\dfrac{8\sqrt{5}}{5 }[/tex]

  [tex]y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }\Big(x-4\Big)[/tex]

  Полуокружность [tex]y=-\sqrt{4-(x-1)^2}[/tex], расположенная в нижней полуплоскости, симметрична относительно рассмотренной относительно оси абсцисс. Значит и касательная к ней будет симметрична:

  [tex]y_k=\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }\Big(x-4\Big)[/tex]

  Таким образом, две касательные задаются уравнением:

  [tex]y_k=\pm\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }\Big(x-4\Big)[/tex]

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: математика.
  На сегодняшний день (03.04.2026) наш сайт содержит 1049518 вопросов, по теме: математика. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы