• 
  • 11 January 2021
  Геометрия
  • Автор: NeZeRAvix

  

  В конус вписан шар. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью
  основания конуса, если отношение объема конуса к объему
  вписанного шара равно 9/4, а отношение радиуса шара к радиусу
  основания конуса меньше 3/5.

• 
  • 11 January 2021
  • Ответ оставил: Mihail001192

  ▪Рассмотрим Δ ABC - осевое сечение данного конуса ( равнобедренный треугольник ) , тогда точка O - центр вписанного шара , точка Н - центр основания конуса, ОН = OM = ON = r , AH = HC = R , ∠А = а - искомый угол между образующей и основанием конуса.

  ▪Точка О является центром вписанной окружности в Δ АВС ⇒  точка О - точка пересечения биссектрис  ⇒  ∠ВАО = ∠НАО = а/2

  ▪В  ΔAHB:  BH = AH•tga = R•tga

     B  ΔHAO:  OH = AH•tg(a/2) = R•tg(a/2)

  ▪ Vконуса  = ( п•AH²•BH )/3 = ( пR²•R•tga )/3 = ( пR³tga )/3

      Vшара = ( 4п•ОН³ )/3 = (  4п•R³•tg³(a/2)  )/3

  ▪ Vконуса / Vшара = tga / 4tg³(a/2)  ;    tga = 2tg(a/2) /  1 - tg²(a/2)  ⇒   Vконуса / Vшара = 2tg(a/2) /  4tg³(a/2)•( 1 - tg²(a/2)  )  = 1 / 2tg²(a/2) - 2tg⁴(a/2)  = k

    2k•tg⁴(a/2) - 2k•tg²(a/2) + 1 = 0

    D = ( 2k )² - 4•2k = 4k² - 8k = 4•( k² - 2k )

    4•( k² - 2k ) ≥ 0  ⇒  k ≥ 2

    tg²(a/2) = ( 2k +- 2√(k² - 2k) )/4k = ( k +- √(k² - 2k) )/ 2k  ⇒  k = 9/4  ⇒

    tg₁²(a/2) = 2/3  ⇒  tg(a/2) = √(2/3) ≈ 0,82

    tg₂²(a/2) = 1/3  ⇒   tg(a/2) = √(1/3) ≈ 0,58

  Из условия следует, что tg(a/2) = r / R  < 0,6  ⇒  tg(a/2) = √3/3  ⇒   a/2 = п/6  ⇒   а = п/3 = 60°

  ΔАВС - равносторонний ,  AB = BC = AC  ⇒  L = 2R = D ,  r = √3R/3

  ОТВЕТ: 60°

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: геометрия.
  На сегодняшний день (28.08.2026) наш сайт содержит 161595 вопросов, по теме: геометрия. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы