• 
  • 05 February 2021
  Алгебра
  • Автор: xatri666

  

  найти обшее решение уравнения:
  у''+4у=3хсоs2x.
  прошу помощи!!!!!
  Есть кто -нибудь, умеющий решать?

• 
  • 05 February 2021
  • Ответ оставил: novo51

  1) Найдем общее решение однородного уравнения:
  y''+4y=0
  Характеристическое уравнение:
  k²+4=0
  k²=-4
  k=+-√(-4)=+-√4i²=+-2i
  k=α+-β*i
  α=0     β=2
  Общее решение однородного ДУ имеет вид:
  у.оо=exp(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))=
  =exp(0)*(C1*cos(2x)+C2*sin(2x))=
  =C1*cos(2x)+C2*sin(2x)
  2) Найдем частное решение неоднородного уравнения
  Правая часть имеет вид:
  f(x)=3x*cos2x=exp(0*x)*((Ax+B)*cos2x+(Cx+D)*sin2x)
  Т.к. k=α+βi=2i является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение ищем в виде:
  у.чн=x*((Ax+B)*cos2x+(Cx+D)*sin2x))=(Ax²+Bx)*cos2x+(Cx²+Dx)*sin2x
  у.чн'=(A²x+Bx)'*cos2x+(Ax²+Bx)*(cos2x)'+(Cx²+Dx)'*sin2x+(Cx²+Dx)*(sin2x)'=
  =(2Ax+B)*cos2x+(Ax²+Bx)*(-2)*sin2x+(2Cx+D)*sin2x+(Cx²+Dx)*2cos2x=
  =(2Ax+B+2Cx²+2Dx)*cos2x+(-2Ax²-2Bx+2Cx+D)*sin2x
  у.чн''=(2Ax+B+2Cx²+2Dx)' *cos2x+(2Ax+B+2Cx²+2Dx)*(cos2x)'+(-2Ax²-2Bx+2Cx+D)'*sin2x+(-2Ax²-2Bx+2Cx+D)*(sin2x)'=
  =(2A+4Cx+2D)*cos2x+(2Ax+B+2Cx²+2Dx)*(-2)*sin2x+(-4Ax-2B+2C)*sin2x+(-2Ax²-2Bx+2Cx+D)*2cos2x=
  =(2A+4Cx+2D-4Ax²-4Bx+4Cx+2D)*cos2x+
  +(-4Ax-2B-4Cx²-4Dx-4Ax-2B+2C)*sin2x=
  =(2A+8Cx+4D-4Ax²-4Bx)*cos2x+(-8Ax-4B-4Cx²-4Dx+2C)*sin2x
  Подставим в исходное уравнение:
  (2A+8Cx+4D-4Ax²-4Bx)*cos2x+(-8Ax-4B-4Cx²-4Dx+2C)*sin2x+
  +(4Ax²+4Bx)*cos2x+(4Cx²+4Dx)*sin2x=3x*cos2x
  (2A+8Cx+4D)*cos2x+(-8Ax-4B+2C)*sin2x=3x*cos2x
  х*cos2x:  8C=3  C=3/8
  cos2x:  2A+4D=0  ⇒  A=-2D
  x*sin2x:  -8A=0  ⇒ A=0     
  sin2x:  -4B+2C=0  ⇒ -2B+C=0  ⇒ B=1/2C=1/2*3/8=3/16 
  D=0
  Тогда 
  у.чн=3/16x*cos2x+3/8x²*sin2x
  3) Найдем общее решение неоднородного уравнения:
  у.он=у.оо+у.чн=
  =C1*cos(2x)+C2*sin(2x)+3/16x*cos2x+3/8x²*sin2x
  
  
  

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
  На сегодняшний день (27.08.2026) наш сайт содержит 449111 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы