• 
  • 03 March 2021
  Математика
  • Автор: Kotuk2000

  

  Найдите количество целочисленных решений (a;b;c) уравнения
  [tex] 150^{a} * ( \frac{200}{3}) ^{b} * 2250^{c} = 506250[/tex], удовлетворяющих условию |a+b+c|<91 . 

• 
  • 03 March 2021
  • Ответ оставил: nelle987

  Раскладываем левую часть на простые множители.
  [tex]150^a=(2\cdot3\cdot5^2)^a=2^a\cdot3^a\cdot5^{2a}\\ \left(\dfrac{200}3\right)^b=(2^3\cdot3^{-1}\cdot5^2)^b=2^{3b}\cdot3^{-b}\cdot5^{2b}\\ 2250^c=(2\cdot3^2\cdot5^3)^c=2^c\cdot3^{2c}\cdot5^{3c}\\ 150^a\cdot\left(\dfrac{200}3\right)^b\cdot2250^c=2^{a+3b+c}\cdot3^{a-b+2c}\cdot5^{2a+2b+3c}[/tex]
  
  Поскольку [tex]506250=2\cdot3^4\cdot5^5[/tex], то равенство при целых a, b, c будет в том и только в том случае, если будет выполняться система
  [tex]\begin{cases}a+3b+c=1\\a-b+2c=4\\2a+2b+3c=5\end{cases}[/tex]
  
  Заметим, что третье уравнения системы - сумма первых двух, так что его можно убрать из рассмотрения, останется система из двух уравнений с тремя неизвестными. Выразим b и c через a:
  [tex]\begin{cases}a+3b+c=1\\a-b+2c=4\end{cases}\begin{cases}a+3(a+2c-4)+c=1\\b=a+2c-4\end{cases}\\\begin{cases}7c=13-4a\\b=a+2c-4\end{cases}\\\begin{cases}c=\dfrac{13-4a}7\\b=-\dfrac{a+2}7\end{cases}[/tex]
  
  Поскольку b должно быть целым, a должно давать остаток 5 при делении на 7; [tex]a=7a'+5[/tex]. Подставляем:
  [tex]\begin{cases}a=7a'+5\\b=-a'-1\\c=-4a'-1\end{cases}[/tex]
  
  Эти равенства при любых целых a' задают все целочисленные решения уравнения. Найдём количество решений, удовлетворяющих неравенству.
  [tex]|a+b+c|=|7a'+5-a'-1-4a'-1|\ \textless \ 91\\ |2a'+3|\ \textless \ 91\\ -91\ \textless \ 2a'+3\ \textless \ 91\\ -94\ \textless \ 2a'\ \textless \ 88\\ -47\ \textless \ a'\ \textless \ 44[/tex]
  
  Подходят -47 < a' < 44, таких a' найдётся 44 + 47 - 1 = 90

  0
• 
  • 03 March 2021
  • Ответ оставил: Удачник66

  Nelle все правильно решила, но этот переход к а' не очень понятен. Я решил эту систему, выразив всё через b:
  a = -2-7b; b; c = 4b+3.
  Получилось без дробей.
  Подставляем в условие
  |a+b+c|=|-2-7b+b+4b+3|=|-2b+1|<91
  -91 < -2b+1 < 91
  -92 < -2b < 90
  -90 < 2b < 92
  -45 < b < 46.
  Значит, целое b принадлежит [-44; 45]. Это 44+45+1=90 значений.

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: математика.
  На сегодняшний день (29.08.2026) наш сайт содержит 1049518 вопросов, по теме: математика. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы