• 
  • 04 March 2021
  Математика
  • Автор: Kotuk2000

  

  Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d касаются в точке, лежащей на оси Ox. Через точку D – вторую точку пересечения первой параболы с осью Ox – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке A, а общую касательную к параболам – в точке B. Найдите отношение DA:DB. 

• 
  • 04 March 2021
  • Ответ оставил: MolFarLittle

  По условию парабола у=2x2+ax+b пересекает ось Ох дважды, т.е квадратное уравнение 2x2+ax+b=0 имеет два корня
  хо и хD
  2x2o+axo +b=0
  2х2D+axD+b=0
  вычтем
  2(x2o–x2D)+а·(xo–xD)=0
  ((xo–xD)·(2xo+2xD+а)=0
  xo–xD≠0, точки по условию различны.
  Значит
  2xo+2xD+а=0
  (xo+xD)=–a/2 (# 1)
  
  точка касания расположена на оси Ox, значит (xo;0)
  
  Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b.
  
  f(x)=2x2+ax+b
  f(xo)=0,
  f`(x)=4x+a
  f`(xo)=4xo+a
  
  y–0=(4хо+a)·(x–xo) – уравнение касательной к первой параболе.
  
  
  Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b.
  
  f(x)=–5x2+сx+d
  f(xo)=0,
  f`(x)=–10x+c
  f`(xo)=–10xo+c
  
  y–0=(–10хо+c)·(x–xo) – уравнение касательной ко второй параболе.
  
  Касательная общая, значит
  4хо+a=–10хо+c ( угловые коэффициенты равны)
  14xo + a – c =0
  xo=(c–a)/14 ( # 2)
  
  У точек А;В и D – одинаковые абсциссы.
  Найдем ординаты.
  Точка А лежит на второй параболе
  Точка В на касательной
  
  А(xD;–5x2D+cxD+d)
  В(хD;(4хо+a)(xD–xo)
  D(хD; 0)
  
  |AD|=|–5x2D+cxD+d|
  –5x2o+сxo +d=0
  d=5x2o–сxo
  |AD|=|–5x2D+cxD+5x2o–сxo|=
  =|xo–xD|·|5xo+5xD–c|
  
  |ВD|=|xo–xD|·|4xo+a|
  
  |DА|:|DВ|=|5xo+5xD–c|/|4xo+a|
  так как
  (xo+xD)=–a/2 ( # 1)
  xo=(c–a)/14 ( # 2)
  
  |DА|:|DВ|=|5xo+5xD–c|/|4xo+a|=
  
  =|5·(–a/2)–c|/|(4·(c–a)/14)+a|=
  
  =|(–5a–2c)/2|/|(2c+5a)/7|=7/2
  Ответ:7/2
  

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: математика.
  На сегодняшний день (27.08.2026) наш сайт содержит 1049518 вопросов, по теме: математика. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы