• 
  • 02 March 2021
  Математика
  • Автор: bam97

  

  y''+y=tgx
  Помогите решить!

• 
  • 02 March 2021
  • Ответ оставил: ArtemCoolAc

  Хорошая задача. Перед нами неоднородное уравнение второго порядка. Обычно сначала находят решение однородного, потом какое-то частное и суммируют.

  Решение однородного найдем (хотя в будущем его же получим, но нестрашно, лишний раз себя проверим).

  Для решения уравнения [tex]y''+y=0[/tex] решим характеристическое уравнение [tex]\lambda^2+1=0 \Rightarrow \lambda=\pm i[/tex]

  Раз его корни комплексные, значит, общее решение будет представлено через синус и косинус:

  [tex]Yg=C_1sinx+C_2cosx, \forall C_1,C_2 \in \mathbb{R}[/tex]

  Правую функцию обозначим [tex]b(x)=tgx[/tex]

  Теперь начинается самое интересное. Есть несколько вариаций решения, но все они основаны на определителе Вронского, который нам тоже надо будет посчитать.

  Пусть [tex]u_1(x)=sinx; \ u_2(x)=cosx[/tex]

  Необходимо посчитать определитель

  [tex]\displaystyle W= \begin{vmatrix}u_1 & u_2\\ u_1'& u_2'\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}sinx & cosx\\ cosx& -sinx\end{vmatrix}= -sin^2x-cos^2x=-1[/tex]

  Важно, что он не равен 0 (иначе это линейная зависимость, которая нам тут не нужна).

  Теперь как искать частное решение.

  Частное решение ищется в виде [tex]A(x)u_1(x)+B(x)u_2(x)[/tex]

  Функции [tex]A(x)[/tex] и [tex]B(x)[/tex] вычисляются следующим образом:

  [tex]\displaystyle A(x)=- \int \frac{1}{W}u_2(x)\cdot b(x)dx; \ B(x)=\int \frac{1}{W}u_1(x)\cdot b(x)dx[/tex]

  где [tex]W=-1[/tex] согласно посчитанному ранее определителю.

  Вычисляем функции:

  [tex]\displaystyle A(x)=-\int \frac{1}{-1}cosx\cdot tgx \ dx=\int sinxdx=-cosx+C_1[/tex]

  Со вторым интегралом проблем побольше:

  [tex]\displaystyle B(x)=\int \frac{1}{-1}sinx \cdot tgx \ dx=-\int\frac{sin^2x}{cosx}dx=\\=-\int\frac{(1-cos^2x)}{cosx}dx=-\int \frac{1}{cosx}dx+\int cosxdx=\\=-\int \frac{1}{cosx}dx+sinx+\widetilde{C}[/tex]

  Если интеграл от косинуса - это самый примитивный интеграл, то интеграл от секанса [tex]\displaystyle \bigg(sec x=\frac{1}{cosx}\bigg)[/tex] - не совсем простой, хотя его заносят в таблицы, советую его запомнить. Если необходимо его посчитать, то это можно сделать разными методами.

  [tex]\displaystyle \int\frac{1}{cosx}dx=\int \frac{cosx}{cos^2x}dx=\int \frac{cosx}{1-sin^2x}dx;\\ \ u=sinx \Rightarrow du=cosxdx \Rightarrow 1-sin^2x=1-u^2 \Rightarrow \\ \int \frac{cosx}{1-sin^2x}dx=\int \frac{1}{1-u^2}du= \\=\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u}du +\frac{1}{2} \int\frac{1}{1-u}du =\frac{1}{2}ln|1+u|-\frac{1}{2}ln|1-u|+C=\\=\frac{1}{2}ln\bigg|\frac{1+u}{1-u} \bigg| +C=\frac{1}{2}ln \bigg|\frac{1+sinx}{1-sinx} \bigg| +C=ln|secx+tgx|+C[/tex]

  Мы меняли синус, можно было воспользоваться универсальной тригонометрической подстановкой

  [tex]\displaystyle t=tg\frac{x}{2};dx=\frac{2dt}{1+t^2}; \ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}; \\ \int\frac{1}{cosx}dx =\int \frac{1+t^2}{1-t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt= \\=\int \frac{2}{1-t^2}dt = \int\frac{1}{1-t}dt+ \int \frac{1}{1+t} dt=\\=ln|1+t|-ln|1-t|+C=ln \bigg| \frac{1+t}{1-t} \bigg|+C=ln\bigg|\frac{1+tg\frac{x}{2}}{1-tg\frac{x}{2}} \bigg|+C[/tex]

  Все это эквивалентно, просто с секансом дроби нет. Докажем хотя бы одну эквивалентность выражений:

  [tex]\displaystyle \frac{1}{2} \ln \bigg| \frac{1+sinx}{1-sinx} \bigg|=ln|secx+tgx|; ln \bigg|\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}} \bigg|=ln\bigg| \frac{1}{cosx}+tgx \bigg| \\ \frac{1+sinx}{1-sinx}=\bigg(\frac{1+sinx}{cosx}\bigg)^2; \ \frac{1+sinx}{1-sinx}=\frac{(1+sinx)^2}{1-sin^2x} ; \\ \frac{1+sinx}{1-sinx}=\frac{(1+sinx)^2}{(1-sinx)(1+sinx)}; \ \frac{1+sinx}{1-sinx}=\frac{1+sinx}{1-sinx}[/tex]

  Эквивалентность с тангенсом так же через некоторые тригонометрические преобразования доказывается. Теперь есть вычисленный интеграл:

  [tex]\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx=ln|secx+tgx|+C_2[/tex]

  Потом его с минусом возьмем.

  Собственно, теперь можно подставлять

  [tex]Y_p=A(x)u_1(x)+B(x)u_2(x)= \\ =(-cosx+C_1)\cdot sinx+(-ln|secx+tgx|+sinx+C_2)\cdot cosx = \\ =C_1sinx+C_2cosx-cosx\cdot ln|secx+tgx|[/tex]

  Здесь получилось и наше общее решение, так что данное решение можно записывать в ответ:

  [tex]Y=C_1sinx+C_2cosx-cosx\cdot ln|secx+tgx|, \ \forall C_1,C_2\in \mathbb{R}[/tex]

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: математика.
  На сегодняшний день (29.04.2026) наш сайт содержит 1049518 вопросов, по теме: математика. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы