• 
  • 05 March 2021
  Математика
  • Автор: tdwtqzii

  

  Решите систему уравнений:
  [tex] \left \{ {{xy+z^{2} =2} \atop {yz+ x^{2} =2}} \atop {zx+ y^{2} =2}} \right. [/tex]²

• 
  • 05 March 2021
  • Ответ оставил: iosiffinikov

  xy+z^2=2
  yz+x^2=2
  zx+y^2=2
  -----------------------
  Конечно, (1,1,1) - решение, но единственное ли?
  Очевидно (-1,-1,-1) - тоже решение.
  Вычтем из первого второе
  у*(х-z)+(z-х)*(z+х)=0
  Если х не равен z, то возможно y=z+x
  точно также вычитая из второго третье:
  Если х не равен у, то возможно z=у+x
  Наконец, из первого третье:
  Если z не равен у, то возможно х=у+z
  -------------------
  Если выполнено одно из условий, вроде,х=у, получим указанные тривиальные решения и , возможно другие, к этому случаю вернемся.
  Иначе, решаем систему: х=у+z
                                             z=у+x
                                             y=z+x
  
   Есть решение (0,0,0), но оно не удовлетворяет  исходной системе.
    Между тем, у этой системы ,  (0,0,0) - единственное решение ( в этом нетрудно убедиться, подставив, например третье во второе и получив
  2х=0 и т.д.)
  Пусть теперь, например х=у.
  Тогда остаются два уравнения  x^2+z^2=2
                                                         xz+x^2=2
  Вычитая одно из другого , получим  или z=0 или х=z, если z=0, то х=sqrt(2) или х=-sqrt(2), иначе
  получим те же тривиальные решения. Если х=(+-)sqrt(2), то и у=(+-)sqrt(2),
  так, что решения (sqrt(2),sqrt(2),0)  и (-sqrt(2),-sqrt(2),0)
  Точно также решения (0,sqrt(2),sqrt(2)) и (sqrt(2),0,sqrt(2)) и т.д.
  
  Значит решений всего 8: (1,1,1) ,(-1,-1,-1) , (sqrt(2),sqrt(2),0), (-sqrt(2),-sqrt(2),0),
  (0,sqrt(2),sqrt(2)) ,(0,-sqrt(2),-sqrt(2)), (sqrt(2),0,sqrt(2)) и (-sqrt(2),0,-sqrt(2))
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: математика.
  На сегодняшний день (25.02.2026) наш сайт содержит 1049517 вопросов, по теме: математика. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы