• 
  • 15 February 2021
  Алгебра
  • Автор: xeniaDZ

  

  Помогите пожалуйста!! Метод математической индукции
  1) 1*3+2*3+...+n(2n+1)=n(4n^2+9n+5)\6
  2) 1\2*4+1\4*6+...+1\2n(2n+2)=n\4n+4

• 
  • 15 February 2021
  • Ответ оставил: hote

   
  1 выражение: С учетом комментариев к задаче:
  
  [tex]\dispaystyle 1*3+2*5+...+n(2n+1)= \frac{n(4n^2+9n+5)}{6} [/tex]
  
  1) докажем для n=1
  
  [tex]\dispaystyle 1*3= \frac{1(4+9+5)}{6}\\3= \frac{18}{6}\\3=3 [/tex]
  
  2) допустим что равенство справедливо для n=k
  докажем что оно справедливо для n=k+1
  
  [tex]\dispaystyle 1*3+2*5+...+k(2k+1)+(k+1)(2k+3)=[/tex]
  
  сумма первых слагаемых до n=k по предположению равна дроби. Заменим
  
  [tex]\dispaystyle \frac{k(4k^2+9k+5)}{6}+(k+1)*(2k+3)=\\ \frac{k(4k^2+9k+5)+6(2k^2+5k+3)}{6}=\\= \frac{4k^3+9k^2+5k+12k^2+30k+18}{6}=\\= \frac{4k^3+21k^2+35k+18}{6}=\\ \frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6} [/tex]
  
  теперь преобразуем правую часть равенства
  
  [tex]\dispaystyle \frac{(k+1)(4(k+1)^2+9(k+1)+5)}{6}= \frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6} [/tex]
  
  Мы видим что равенство справедливо. 
  
  Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.
  
  2 Выражение:
  
  [tex]\dispaystyle \frac{1}{2*4}+ \frac{1}{4*6}+...+ \frac{1}{2n(2n+2)}= \frac{n}{4n+4} [/tex]
  
  1) докажем для n=1
  
  [tex]\dispaystyle \frac{1}{2*4}= \frac{1}{4+4}\\ \frac{1}{8}= \frac{1}{8} [/tex]
  
  2) предположим что равенство справедливо для n=k
  докажем что справедливо для n=k+1
  
  [tex]\dispaystyle \frac{1}{2*4}+ \frac{1}{4*6}+...+ \frac{1}{2k(2k+2)}+ \frac{1}{2(k+1)(2k+4)} =\\= \frac{k}{4k+4}+ \frac{1}{4(k+1)(k+2)}= \frac{k(k+2)+1}{4(k+1)(k+2)}=\\= \frac{k^2+2k+1}{4(k+1)(k+2)}= \frac{(k+1)^2}{4(k+1)(k+2)}= \frac{k+1}{4(k+2)} [/tex]
  
  рассмотрим правую часть
  
  [tex]\dispaystyle \frac{k+1}{4(k+1)+4}= \frac{k+1}{4k+8}= \frac{k+1}{4(k+2)} [/tex]
  
  Мы видим что равенство справедливо. 
  
  Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.
  
  

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
  На сегодняшний день (02.04.2026) наш сайт содержит 449110 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы