• 
  • 10 February 2011
  Українська мова
  • Автор: Dashkablondy

  

  1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+...+1/n(n+1)(n+2)=?

• 
  • 10 February 2011
  • Ответ оставил:

  Доброй ночи!

  Представим дробь

  1/n(n+1)(n+2)  в виде суммы дробей A/n + B/(n+1) + C/(n+2)

  Приведём к единому знаменателю и получим такой числитель

  А(n+1)*(n+2) + B(n*(n+2) + C(n*(N+1) = A(n2+3n+2)+B(n2+2n)+C(n2+n) =

  n2(A+B+C) + n(3A+2B+C) + 2A

  Числитель должен быть равен 1. Данное условие должно выполняться при лююбом n. Получаем, коэффиуиенты при n2 и n должны быть равны 0, а 2A = 1

   

  A =1/2

  A+B+C = 0

  3A+2B+C = 0

  Вычитаем из второго уравнения первое и получаем равносильное уравнение

   

  2A + B = 0. B = -1

  C = 1/2

   

  Получаем, 1/n(n+1)(n+2) = 1/(2n) - 1/(n+1)+1/2(n+2)

   

  n = 1  1/2 - 1/2 + 1/6

  n = 2  1/4 - 1/3 + 1/8

  n = 3  1/6 - 1/4 + 1/10

  n = 4  1/8 - 1/5 + 1/12

  сумма первых членов равна

  1/4 - 1/10 + 1/12

  n = 5 1/10 - 1/6 + 1/14

  сумма пяти членов равна

  1/4 -1/12 + 1/14 или равна 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)

   

  Покажем по индукции что начиная со второго сумма членов указанной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)

  n = 1

  По формуле получаем 1/4 - 1/2*3 + 1/ 2*4 = 1/4 - 1/6 + 1/8 = сумме первых двух членов. Проверьте сами.

  Сумма первых четрёх членов равна  = формуле  1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2) с n = 4

   

  Покажем теперь, что если сумма первых k членов заданной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2)

  То и для суммы k+1 члена последовательности формула выполняется.

   

  Sk = 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) - сумма первых k членов последовательности.

  Sk+1 = Sk + 1/(k+1)(k+2)(k+3) =

  1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) + 1/(2(k+1)) - 1/(k+1+1)+1/2(k+1+2) =

  1/4 + 1/2(k+2) - 1/(k+2) + 1/(2(k+3)) = 1/4 - 1/2(k+2) + 1/2(k+3)

  То есть формула верна и для суммы к+1 одного члена последовательности.

  Ответ: Sn = 1/4 -1/2(n+1) +1/2(n+2)

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: українська мова.
  На сегодняшний день (26.04.2024) наш сайт содержит 117845 вопросов, по теме: українська мова. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы