• 10 February 2011
    • Українська мова
    • Автор: Dashkablondy

    1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+...+1/n(n+1)(n+2)=?

    • 10 February 2011
    • Ответ оставил:

    Доброй ночи!

    Представим дробь

    1/n(n+1)(n+2)  в виде суммы дробей A/n + B/(n+1) + C/(n+2)

    Приведём к единому знаменателю и получим такой числитель

    А(n+1)*(n+2) + B(n*(n+2) + C(n*(N+1) = A(n2+3n+2)+B(n2+2n)+C(n2+n) =

    n2(A+B+C) + n(3A+2B+C) + 2A

    Числитель должен быть равен 1. Данное условие должно выполняться при лююбом n. Получаем, коэффиуиенты при n2 и n должны быть равны 0, а 2A = 1

     

    A =1/2

    A+B+C = 0

    3A+2B+C = 0

    Вычитаем из второго уравнения первое и получаем равносильное уравнение

     

    2A + B = 0. B = -1

    C = 1/2

     

    Получаем, 1/n(n+1)(n+2) = 1/(2n) - 1/(n+1)+1/2(n+2)

     

    n = 1  1/2 - 1/2 + 1/6

    n = 2  1/4 - 1/3 + 1/8

    n = 3  1/6 - 1/4 + 1/10

    n = 4  1/8 - 1/5 + 1/12

    сумма первых членов равна

    1/4 - 1/10 + 1/12

    n = 5 1/10 - 1/6 + 1/14

    сумма пяти членов равна

    1/4 -1/12 + 1/14 или равна 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)

     

    Покажем по индукции что начиная со второго сумма членов указанной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)

    n = 1

    По формуле получаем 1/4 - 1/2*3 + 1/ 2*4 = 1/4 - 1/6 + 1/8 = сумме первых двух членов. Проверьте сами.

    Сумма первых четрёх членов равна  = формуле  1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2) с n = 4

     

    Покажем теперь, что если сумма первых k членов заданной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2)

    То и для суммы k+1 члена последовательности формула выполняется.

     

    Sk = 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) - сумма первых k членов последовательности.

    Sk+1 = Sk + 1/(k+1)(k+2)(k+3) =

    1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) + 1/(2(k+1)) - 1/(k+1+1)+1/2(k+1+2) =

    1/4 + 1/2(k+2) - 1/(k+2) + 1/(2(k+3)) = 1/4 - 1/2(k+2) + 1/2(k+3)

    То есть формула верна и для суммы к+1 одного члена последовательности.

    Ответ: Sn = 1/4 -1/2(n+1) +1/2(n+2)

    Оцени ответ
    • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?
    Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: українська мова.
    На сегодняшний день (08.03.2021) наш сайт содержит 117845 вопросов, по теме: українська мова. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

Последние опубликованные вопросы

Знайдіть в Інтернеті промови ораторів Давньої Греції або Давнього Риму. Прочитайте одну із них і запишіть, чим відрізняються такі тексти від сучасних. напишіть правильно словосполучення:кошторис по філії Ощадбанку,курси по вивчанню бухгалтерського обліку,інструктор по плаванню,не по душі,з 15 по 25 грудня,по Вашому проханню,працювати по контракту... Срочноооо!! Підберіть до іншомовних слів слова сучасної української мови : реставрація Допоможіть написати!Провідміняйте числівник з іменником: двадцять п’ять тисяч шістсот дев’яносто сім студентів. Розставляючи розділові знаки. Синтаксичний розбір речення. Повсюди виблискуючи білим оперненням крил низько над прибоєм висіли гамірні чайки.​ чому лише літературна мова виконує функції державної​ Скалідіть слова за схемою префікс префікс корінь і закінчення! Будь ласка! 3редагуйте- речення, що- можуть бути- використані під- час формулювання мети резюме 2) Заснувати мережу фітнес-клубів по заняттях pізними видами спорту3) Отримати посадудиректора реабіліташіiнoго ц... Скласти речення із словосполученням , листування з товаришем Аеродром доберіть до нього синонім із запропонованих слів: космодром, летовище, іподром.запишіть складне речення з словами нюанс і ательє1 складне реченняпожалуйста очень надо​ Номер 1Доберіть синоніми й антоніми до виділеного слова.Цю сорочку мені вишила материнська ЛАСКАВА рука. Номер 2 Складіть два речення зі словом гарячий т...